Андрей Терентьев родился в Смоленске. После окончания школы юноша решил поступать в театральный вуз, но с первого раза это ему не удалось. Чтобы не терять времени, Андрей Терентьев сдал вступительные экзамены в институт искусств, а затем, уже с третьей попытки, всё-таки поступил в Санкт-Петербургскую академию театрального искусства на курс В. Фильштинского.
После окончания СПбГАТИ Андрей Терентьев сосредоточился на работе в антрипризных театрах: «Приют комедианта» и «Особняк».
После ряда эпизодов, утвердили на одну из главных ролей в картину «Мы из будущего». Изначально по сценарию персонажи были несколько иными, нежели в окончательном варианте фильма. Так герой Терентьева Андрей Смирнов был запойным алкоголиком, потому и имел прозвище «Спирт». Однако затем создатели картины посчитали, что герои должны вызывать у зрителей больше сочувствия, быть более человечными. В результате «Спирт» превратился в рэпера с дредами.
После этого Андрей сыграл Перца в популярном остросюжетном сериале «Литейный, 4», Геру в сериале «Морские дьяволы — 4», Алика Тарасова в фильме «Беглец».
Со своей будущей супругой Светланой Кутузовой Андрей Терентьев познакомился ещё в 12-летнем возрасте в театре-студии «Диалог». Кроме того, Светлана является директором Андрея. Супруги воспитывают сына Никиту.