Алексей Барабаш родился 12 июня 1977 года в Санкт-Петербурге.
В 1997 году окончил факультет искусств Санкт-Петербургского гуманитарного университета профсоюзов (мастер курса — знаменитый театральный педагог З. Я. Корогодский) и был зачислен в труппу Театра юного зрителя. С 2000 года снимается в кино в телесериалах и полнометражных фильмах.